Trong toán học

Trong các công thức toán học, ký hiệu ± có thể được sử dụng để chỉ ký hiệu có thể được thay thế bởi một trong hai ký hiệu + hoặc − , cho phép công thức đại diện cho hai giá trị hoặc hai phương trình.Ví dụ, với phương trình x2 = 1, ta có thể cho đáp án là x = ±1. Điều này chỉ ra rằng phương trình có đáp án, mỗi đáp án có thể thu được bằng cách thay thế phương trình này bởi một trong hai phương trình x = +1 hoặc x = −1. Chỉ có một trong hai phương trình thay thế là đúng đối với đáp án chuẩn bất kỳ. Một ứng dụng phổ biến của ký hiệu này được tìm thấy trong công thức bậc hai

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {\displaystyle \displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

mô tả hai nghiệm cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0.

Tương tự như vậy, đẳng thức lượng giác

sin ⁡ ( A ± B ) = sin ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ± cos ⁡ ( A ) sin ⁡ ( B ) . {\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B).\,}

có thể được hiểu là viết tắt dành cho hai phương trình: một có "+" trên cả hai vế của phương trình, và một có "-" trên cả hai bên. Hai bản sao của dấu ± trong đẳng thức này đều phải được thay thế theo cùng cách: không hợp lệ khi thay thế một phương trình bằng "+" và phương trình khác với "-". Ngược lại với ví dụ về công thức bậc hai, cả hai phương trình được mô tả bởi đẳng thức này đồng thời hợp lệ.

Cách sử dụng có liên quan thứ ba được tìm thấy trong phần này của công thức cho chuỗi Taylor của hàm sin:

sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ± 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + ⋯ . {\displaystyle \sin \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\cdots .}

Ở đây, các ký hiệu cộng-hoặc-trừ cho biết các ký hiệu của các số hạng thay thế, trong đó (bắt đầu đếm từ 0) các số hạng có chỉ số n ẻ được cộng vào trong khi chỉ số lẻ thì được trừ. Một bài trình bày chặt chẽ hơn của cùng một công thức sẽ nhân mỗi số hạng với thừa số (−1)n, mà cho +1 khi n chẵn và -1 khi n lẻ.

Trong thống kê

Việc dùng ⟨±⟩ cho một xấp xỉ thường được gặp nhất trong giới thiệu các giá trị số của một lượng cùng với độ dung sai của nó hay sai số lợi nhuận thống kê.[1] Ví dụ, "5,7 ± 0,2" có nghĩa là một lượng được chỉ rõ hoặc ước tính trong phạm vi 0,2 đơn vị là 5,7; nó có thể là bất cứ số nào trong khoảng 5,5-5,9. Trong cách dùng khoa học đôi khi nó đề cập đến một xác suất tồn tại trong khoảng đã nêu, thường tương ứng với các độ lệch chuẩn 1 hoặc 2 (xác suất 68,3% hoặc 95,4% trong phân bố bình thường).

Một phần trăm cũng được sử dụng để biểu thị biên độ sai số. Ví dụ, 230 ± 10% V dùng để chỉ điện áp trong vòng 10% của 230 V (207 V đến 253 V). Các giá trị riêng biệt cho các giới hạn trên và dưới cũng được sử dụng. Ví dụ, để cho biết rằng một giá trị có khả năng là 5,7 nhất nhưng có thể cao tới 5.9 hay thấp như 5.6, ta có thể viết &0000000000000005.7000005.7+0.2
−0.1.

Trong cờ vua

Các ký hiệu ± và ∓ được sử dụng trong chú giải cờ vua để biểu thị lợi thế tương ứng cho cờ trắng và cờ đen. Tuy nhiên, ký hiệu cờ vua thường gặp hơn sẽ chỉ là + và -.[3] Nếu nói về sự khác biệt, ký hiệu + và - biểu thị một lợi thế lớn hơn ± và ∓.